Denis Caillerie (Laboratoire 3SR, Grenoble). Modélisation continue de systèmes discrets - aspects asymptotiques.

De nombreux milieux considérés comme continus à une certaine échelle présentent une microstructure. Néanmoins la théorie des milieux continus a fait la preuve de son efficacité et reste très utilisée, en particulier en raison de la puissance des outils de simulation numérique développés depuis quelques décennies. L'un des principaux problèmes de la modélisation des milieux continus est sans doute la détermination des lois de comportement. L’approche phénoménologique est souvent difficile et partielle et de nombreuses méthodes d’homogénéisation, appelée également passage micro-macro ou upscaling, ont été développées.

L'exposé  sera consacré à la modélisation continue de milieux discrets, c'est-à-dire dont la microstructure est décrite par un nombre fini de paramètres par opposition aux formulations continues à base de champs.  La méthode de changement d’échelles utilisée est essentiellement une adaptation de la méthode de développements asymptotiques des milieux périodiques qui suppose une séparation d’échelles entre les micro et macro structures. Le petit paramètre des développements asymptotiques est le rapport entre des distances caractéristiques, respectivement des échelles micro et macro. La méthode quand elle est applicable permet à la fois de justifier le type de modélisation continue et de déterminer le problème à résoudre sur la période à l’échelle microscopique  pour déterminer la loi de comportement macroscopique. L’utilisation de développements asymptotiques n’est quelquefois pas possible ou très complexe, par exemple dans la modélisation des milieux granulaires. Dans l’analyse de ces milieux impliquant des degrés de rotation, il est cependant possible et fructueux de conserver le concept de petit paramètre pour étudier le rôle des rotations, déterminer la nature du milieu continu et évaluer les conditions d’une modélisation continue de type Cosserat.